Apa itu Relasi: Pengertian, Jenis dan Contoh dalam Matematika

Pengertian Relasi dalam Matematika

Liputan6.com, Jakarta Dalam ilmu matematika, relasi merupakan konsep yang sangat penting untuk dipahami. Secara sederhana, relasi dapat didefinisikan sebagai hubungan atau kaitan antara dua himpunan. Lebih spesifiknya, relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota dari suatu himpunan dengan anggota-anggota himpunan lainnya.

Misalnya, kita memiliki dua himpunan:

• Himpunan A = {1, 2, 3, 4}
• Himpunan B = {1, 4, 9, 16}

Kita dapat membuat relasi antara himpunan A dan B dengan aturan "akar dari". Maka relasinya menjadi:

• 1 berhubungan dengan 1 (karena 1 adalah akar dari 1)
• 2 berhubungan dengan 4 (karena 2 adalah akar dari 4)
• 3 berhubungan dengan 9 (karena 3 adalah akar dari 9)
• 4 berhubungan dengan 16 (karena 4 adalah akar dari 16)

Dalam konteks relasi, himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal, sedangkan himpunan B disebut sebagai kodomain atau daerah kawan. Anggota himpunan A yang memiliki pasangan di himpunan B disebut sebagai daerah hasil atau range.

Penting untuk dipahami bahwa dalam relasi, tidak ada aturan khusus yang mengharuskan setiap anggota domain berpasangan dengan anggota kodomain. Beberapa anggota domain bisa memiliki lebih dari satu pasangan, atau bahkan tidak memiliki pasangan sama sekali.

Terdapat beberapa cara untuk menyatakan atau merepresentasikan relasi dalam matematika. Berikut adalah tiga metode utama yang sering digunakan:

1. Diagram Panah

Diagram panah merupakan cara yang paling mudah dan intuitif untuk menggambarkan relasi. Dalam diagram ini, anggota domain dan kodomain ditulis dalam dua himpunan terpisah, kemudian hubungan antar anggotanya ditunjukkan dengan anak panah.

Contoh:

Misalkan kita memiliki relasi "makanan kesukaan" antara himpunan orang dan himpunan makanan.

• Himpunan A (orang) = {Andi, Budi, Cici, Dodi}
• Himpunan B (makanan) = {nasi goreng, mie ayam, sate, bakso}

Relasi dapat digambarkan dengan diagram panah sebagai berikut:

[Gambar diagram panah]

Dalam diagram ini, kita bisa melihat bahwa:

• Andi menyukai nasi goreng dan mie ayam
• Budi menyukai sate
• Cici menyukai bakso
• Dodi menyukai mie ayam

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Cara kedua untuk menyatakan relasi adalah dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan. Dalam metode ini, setiap hubungan antara anggota domain dan kodomain ditulis sebagai pasangan dalam tanda kurung, dengan anggota domain ditulis terlebih dahulu.

Menggunakan contoh relasi "makanan kesukaan" di atas, kita dapat menuliskannya sebagai himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

{(Andi, nasi goreng), (Andi, mie ayam), (Budi, sate), (Cici, bakso), (Dodi, mie ayam)}

Metode ini sangat berguna ketika kita perlu menuliskan relasi secara ringkas dan formal, terutama dalam konteks matematika yang lebih lanjut.

3. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius atau diagram koordinat kartesius adalah cara ketiga untuk merepresentasikan relasi. Dalam metode ini, anggota domain ditempatkan pada sumbu x, sedangkan anggota kodomain ditempatkan pada sumbu y. Relasi ditunjukkan dengan titik atau noktah pada perpotongan koordinat yang sesuai.

Menggunakan contoh relasi "akar dari" yang telah disebutkan sebelumnya:

• Himpunan A = {1, 2, 3, 4}
• Himpunan B = {1, 4, 9, 16}

Diagram Cartesiusnya akan terlihat seperti ini:

[Gambar diagram Cartesius]

Dalam diagram ini, kita bisa melihat titik-titik pada koordinat (1,1), (2,4), (3,9), dan (4,16), yang menunjukkan relasi "akar dari" antara anggota himpunan A dan B.

Relasi dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan sifat-sifat tertentu. Berikut adalah beberapa jenis relasi yang penting untuk dipahami:

1. Relasi Refleksif

Relasi refleksif adalah relasi di mana setiap anggota dalam himpunan berhubungan dengan dirinya sendiri. Secara matematis, untuk setiap a dalam himpunan A, (a,a) harus ada dalam relasi R.

Contoh: Relasi "sama dengan" pada himpunan bilangan real adalah relasi refleksif, karena setiap bilangan real sama dengan dirinya sendiri.

2. Relasi Simetris

Relasi simetris adalah relasi di mana jika a berhubungan dengan b, maka b juga harus berhubungan dengan a. Secara matematis, jika (a,b) ada dalam relasi R, maka (b,a) juga harus ada dalam R.

Contoh: Relasi "saudara" adalah relasi simetris. Jika Ali adalah saudara Budi, maka Budi juga adalah saudara Ali.

3. Relasi Transitif

Relasi transitif adalah relasi di mana jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a juga harus berhubungan dengan c. Secara matematis, jika (a,b) dan (b,c) ada dalam relasi R, maka (a,c) juga harus ada dalam R.

Contoh: Relasi "lebih besar dari" pada himpunan bilangan real adalah relasi transitif. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

4. Relasi Ekuivalen

Relasi ekuivalen adalah relasi yang memenuhi tiga sifat sekaligus: refleksif, simetris, dan transitif. Relasi ekuivalen sangat penting dalam matematika karena dapat digunakan untuk mengelompokkan elemen-elemen dalam suatu himpunan menjadi kelas-kelas yang setara.

Contoh: Relasi "kongruen modulo n" pada himpunan bilangan bulat adalah relasi ekuivalen. Misalnya, untuk modulo 3, bilangan-bilangan yang memiliki sisa yang sama ketika dibagi 3 dianggap ekuivalen (0, 3, 6 ekuivalen; 1, 4, 7 ekuivalen; 2, 5, 8 ekuivalen).

Meskipun relasi dan fungsi memiliki keterkaitan yang erat dalam matematika, keduanya memiliki perbedaan yang signifikan. Berikut adalah beberapa perbedaan utama antara relasi dan fungsi:

1. Definisi

Relasi adalah hubungan umum antara dua himpunan, di mana anggota-anggota dari satu himpunan dapat berhubungan dengan satu atau lebih anggota dari himpunan lainnya, atau bahkan tidak berhubungan sama sekali.

Fungsi, di sisi lain, adalah jenis relasi khusus di mana setiap anggota dari himpunan domain harus dipasangkan dengan tepat satu anggota dari himpunan kodomain.

2. Aturan Pemasangan

Dalam relasi, tidak ada aturan khusus tentang bagaimana anggota-anggota himpunan dipasangkan. Satu anggota domain bisa memiliki banyak pasangan, atau tidak memiliki pasangan sama sekali.

Dalam fungsi, setiap anggota domain harus memiliki tepat satu pasangan di kodomain. Tidak boleh ada anggota domain yang tidak memiliki pasangan atau memiliki lebih dari satu pasangan.

3. Keunikan

Relasi tidak mensyaratkan keunikan dalam pemasangan anggota-anggotanya. Satu anggota domain bisa berpasangan dengan beberapa anggota kodomain.

Fungsi mensyaratkan keunikan dalam pemasangan. Setiap anggota domain harus memiliki pasangan yang unik di kodomain.

4. Cakupan

Semua fungsi adalah relasi, tetapi tidak semua relasi adalah fungsi. Dengan kata lain, fungsi adalah subset dari relasi yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

5. Representasi

Relasi biasanya direpresentasikan dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, atau diagram Cartesius.

Fungsi, selain dapat direpresentasikan dengan cara-cara tersebut, juga sering dinyatakan dalam bentuk rumus matematika, seperti f(x) = 2x + 1.

Untuk lebih memahami konsep relasi, mari kita lihat beberapa contoh soal dan pembahasannya:

Soal 1: Diagram Panah

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {1, 4, 9, 16, 25}. Gambarkan diagram panah untuk relasi "akar dari" dari himpunan A ke himpunan B.

Pembahasan:

Relasi "akar dari" berarti kita akan menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan anggota himpunan B yang merupakan kuadratnya. Diagram panahnya akan terlihat seperti ini:

[Gambar diagram panah]

Dari diagram ini, kita bisa melihat bahwa:

• 1 berhubungan dengan 1 (karena 1² = 1)
• 2 berhubungan dengan 4 (karena 2² = 4)
• 3 berhubungan dengan 9 (karena 3² = 9)
• 4 berhubungan dengan 16 (karena 4² = 16)

Perhatikan bahwa 25 tidak memiliki pasangan, karena tidak ada bilangan dalam himpunan A yang kuadratnya 25.

Soal 2: Himpunan Pasangan Berurutan

Diketahui himpunan P = {a, b, c} dan himpunan Q = {1, 2, 3, 4}. Jika diketahui relasi dari P ke Q adalah "kurang dari", tuliskan relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan berurutan.

Pembahasan:

Relasi "kurang dari" berarti kita akan memasangkan setiap anggota P dengan semua anggota Q yang lebih besar darinya. Misalkan kita menetapkan bahwa a = 1, b = 2, dan c = 3. Maka himpunan pasangan berurutannya adalah:

{(a,2), (a,3), (a,4), (b,3), (b,4), (c,4)}

Penjelasan:

• a (1) kurang dari 2, 3, dan 4
• b (2) kurang dari 3 dan 4
• c (3) kurang dari 4

Soal 3: Jenis Relasi

Tentukan apakah relasi berikut merupakan relasi refleksif, simetris, atau transitif pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}:

R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

Pembahasan:

1. Refleksif: Relasi R adalah refleksif jika (a,a) ada dalam R untuk setiap a dalam A. Dalam hal ini, (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4) semua ada dalam R. Jadi, R adalah relasi refleksif.

2. Simetris: Relasi R adalah simetris jika untuk setiap (a,b) dalam R, (b,a) juga harus ada dalam R. Kita lihat bahwa (1,2) dan (2,1) keduanya ada dalam R. Namun, tidak ada pasangan lain yang perlu diperiksa untuk simetri. Jadi, R adalah relasi simetris.

3. Transitif: Relasi R adalah transitif jika untuk setiap (a,b) dan (b,c) dalam R, (a,c) juga harus ada dalam R. Dalam relasi ini, satu-satunya kemungkinan untuk memeriksa transitivitas adalah dengan pasangan (1,2) dan (2,1). Namun, (1,1) sudah ada dalam R. Jadi, R adalah relasi transitif.

Kesimpulan: Relasi R adalah refleksif, simetris, dan transitif. Karena memenuhi ketiga sifat ini, R juga merupakan relasi ekuivalen.

Meskipun relasi sering dianggap sebagai konsep matematika yang abstrak, sebenarnya relasi memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Berikut beberapa contoh:

1. Hubungan Keluarga

Relasi dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan keluarga. Misalnya, relasi "adalah anak dari" atau "adalah saudara dari" dapat digunakan untuk memetakan hubungan antar anggota keluarga.

2. Sistem Rekomendasi

Platform seperti Netflix atau Amazon menggunakan relasi untuk membuat sistem rekomendasi. Misalnya, relasi "suka" antara pengguna dan film dapat digunakan untuk merekomendasikan film baru kepada pengguna berdasarkan preferensi mereka sebelumnya.

3. Jaringan Sosial

Media sosial seperti Facebook menggunakan relasi "teman" untuk menghubungkan pengguna. Relasi ini bersifat simetris karena jika A adalah teman B, maka B juga adalah teman A.

4. Pemetaan Geografis

Relasi "berbatasan dengan" dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antar negara atau wilayah dalam peta.

5. Sistem Pendidikan

Relasi dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara siswa, guru, dan mata pelajaran dalam sistem pendidikan.

Relasi merupakan konsep fundamental dalam matematika yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan. Pemahaman yang baik tentang relasi tidak hanya penting untuk menguasai materi matematika lanjutan, tetapi juga berguna dalam berbagai aplikasi praktis di dunia nyata.

Kita telah mempelajari bahwa relasi dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, termasuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius. Selain itu, kita juga telah mengeksplorasi berbagai jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif, dan ekuivalen.

Penting untuk memahami perbedaan antara relasi dan fungsi. Sementara semua fungsi adalah relasi, tidak semua relasi adalah fungsi. Fungsi memiliki aturan yang lebih ketat di mana setiap anggota domain harus dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain.

Dengan memahami konsep relasi, kita dapat lebih baik dalam menganalisis dan menggambarkan hubungan antara berbagai entitas, baik dalam konteks matematika maupun dalam aplikasi praktis sehari-hari. Oleh karena itu, penguasaan konsep relasi menjadi sangat penting bagi siswa, mahasiswa, maupun profesional di berbagai bidang yang melibatkan analisis data dan hubungan antar variabel.