Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers dalam Matematika yang Perlu Dipahami

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, fungsi adalah adalah relasi himpunan A ke himpunan B, dengan setiap anggota A dipasangkan ke satu anggota B. Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. 

1. Daerah asal (domain). Dalam hal ini, himpunan A adalah daerah asal (domain).

2. Daerah kawan (kodomain). Dalam hal ini, himpunan B adalah daerah kawan (kodomain).

3. Daerah hasil (range fungsi). Daerah dari hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain .

Ketika ada dua fungsi yang digabungkan secara berurutan maka akan membentuk sebuah fungsi baru, inilah yang disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi merupakan penggabungan operasi dua jenis fungsi f(x) dan g(x) sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi atau bundaran. 

Fungsi baru yang dapat terbentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

1. (f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

2. (g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi yang dapat dilambangkan dengan huruf “f o g” atau juga dapat dibaca “fungsi f bundaran g”. Fungsi “f o g” adalah  fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan f. Sedangkan, untuk fungsi “g o f” dibaca fungsi g bundaran f. Jadi, “g o f” adalah fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Misal f dan g dua fungsi sembarang. Fungsi komposisi g o f terdefinisi jika daerah hasil f merupakan himpunan bagian dari daerah asal g.

Sementara itu, sifat-sifat fungsi komposisi dapat dilihat melalui:

- (f o g) (x) ≠ (g o f)(x)

- (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

1.  Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?

Jawab:

(f o g)(x) = x² + 3x + 4

f (g(x)) = x² + 3x + 4

g(x) = 3 maka,

4x – 5 = 3

4x = 8

x = 2

Karena f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

2. Diketahui f(x) = 2x dan g(x) = x-3. Tentukan (g o f)(x).

Jawaban:

(g o f)(x) = g(f(x))

(g o f)(x) = g(2x)

(g o f)(x) = (2x) - 3

(g o f)(x) = 2x - 3

Fungsi invers adalah fungsi kebalikan, yaitu suatu fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asalnya. Jika fungsi umumnya adalah f, maka fungsi kembalikannya adalah f-1.

Fungsi (f) memiliki fungsi invers (f-1), apabila (f) adalah satu-satunya fungsi dan fungsi bijektif. Perlu diketahui bahwa fungsi bijektif ditempatkan saat jumlah anggota domainnya sama dengan jumlah anggota kodomain yang dimiliki.

Domain merupakan daerah asal dan kodomain merupakan daerah hasil. Hal ini menjadikan fungsi f memetakan dari A ke B, menjadikan fungsi invers berupa f memetakan dari B ke A.

Umumnya tidak ada dua atau lebih domain berbeda yang dipetakan dalam kodomain yang sama. Perlu diketahui juga bahwa setiap kodomain pasti memiliki pasangan di domain.

Contoh yang bisa ditulisakan:

Ketika f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa langsung ditulisakan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Dapat dimisalkan fungsi f adalah A → B fungsi bijektif. Pada posisi seperti ini, fungsi f adalah fungsi yang menggabungkan pada masih-masing elemen B yang masih tepat satu elemen dengan A.

Ketika fungsi f dinyatakan dengan f-1 maka menjadi sebagai berikut:

f-1 : B → A

Maka akan menjadi,

y = f(x) → x = f-1(y)

1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x – 3 maka f-1(x)!

Penyelesaian:

f(x) = x – 3

y = x – 3

x = y + 3

Ganti x menjadi f-1(x) dan y menjadi x sehingga diperoleh hasil f-1 (x) = x + 3

2. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x2 – 4!

Penyelesaian:

y = x2 – 4

x2 = y + 4

x = √ y + 4  

f-1(x) = √ x + 4  

3. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2 + √ x + 2!

Penyelesaian:

√ x + 2   = y – 2

x + 2 = (y – 2)2

x = (y – 2)2 – 2

f-1(x) = (x – 2)2 – 2