6 Fungsi Trigonometri dalam Matematika, Pahami Rumus dan Contoh Soalnya

Sudut sinus, cosinus, dan tangen adalah klasifikasi utama fungsi trigonometri. Dan ketiga fungsi trigonometri lainnya yaitu kotangen, secan, dan cosecan dapat diturunkan dari fungsi primer. Pada dasarnya, tiga fungsi utama sering digunakan dibandingkan dengan fungsi trigonometri primer.

Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Rumus fungsi trigonometri secara luas dibagi menjadi identitas timbal balik, rumus Pythagoras, jumlah dan perbedaan identitas, rumus untuk sudut kelipatan dan sub-kelipatan, jumlah dan produk identitas. Semua rumus di bawah ini dapat dengan mudah diturunkan menggunakan rasio sisi segitiga siku-siku. Rumus yang lebih tinggi dapat diturunkan dengan menggunakan rumus fungsi trigonometri dasar. Identitas timbal balik sering digunakan untuk menyederhanakan masalah trigonometri. Berikut ini penjelasan lengkap mengenai rumus fungsi trigonometri, yaitu:

1. Rumus Identitas Timbal Balik

1. cosec = 1/sin
2. detik = 1/cos
3. dipan = 1/tan
4. sin = 1/cosec
5. cos = 1/detik
6. tan = 1/cot

2. Rumus Pythagoras

1. Sin 2 + Cos 2 = 1
2. 1 + Tan 2 θ = Sec 2 θ
3. 1 + Cot 2 θ = Cosec 2 θ

3. Rumus Jumlah dan Perbedaan Identitas

1. sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
2. cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
3. tan(x+y) = (tan x + tan y)/ (1−tan x • tan y)
4. sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
5. cos(x–y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
6. tan(x−y) = (tan x–tan y)/ (1+tan x • tan y)

4. Rumus Identitas Sudut Ganda

1. sin(2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1+tan 2  x)]
2. cos(2x) = cos 2 (x)–sin 2 (x) = [(1-tan 2  x)/(1+tan 2  x)]
3. cos(2x) = 2cos 2 (x)−1 = 1–2sin 2 (x)
4. tan(2x) = [2tan(x)]/ [1−tan 2 (x)]
5. cot(2x) = [cot 2 (x) - 1]/[2cot(x)]
6. dtk (2x) = dtk 2  x/(2 dtk 2  x)
7. cosec (2x) = (dtk x cosec x)/2 

5. Rumus Identitas Sudut Tiga

1. Sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x
2. Cos 3x = 4cos 3 x-3cos x
3. Tan 3x = [3tanx-tan 3 x]/[1-3tan 2 x]

6. Rumus Identitas Produk

1. 2sinx⋅cosy=sin(x+y)+sin(x−y)
2. 2cosx⋅cosy=cos(x+y)+cos(x−y)
3. 2sinx⋅siny=cos(x−y)−cos(x+y)

7. Rumus Jumlah Identitas

1. sinx+siny=2sin((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
2. sinx−siny=2cos((x+y)/2) . dosa((x−y)/2)
3. cosx+cosy=2cos((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
4. cosx−cosy=−2sin((x+y)/2 .sin((x−y)/2)

Fungsi trigonometri memiliki nilai minimum dan maksimum, cara menentukannya dapat menggunakan metode grafik dan melalui rumus. Selain dengan grafik, nilai maksimum dan nilai minimum dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Misalkan fungsi f(x)= a sin g(x) + c dan f(x)= a cos g(x)+c, maka:

Nilai maksimum = |a| + c

Nilai minimum = -|a| + c

Nilai maksimum dan minimum dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudonya.

Amplitudo = ½ (nilai maksimum – nilai minimum)

Berikut ini contoh soalnya, yaitu:

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Jawab:

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11

Nilai minimum = -|a| + c = -|-3| + |-8| = 5