Mengenal Relasi dan Fungsi, Konsep Matematika yang Penting untuk Dipahami

Relasi adalah konsep matematika dasar yang menggambarkan hubungan antara dua set nilai atau variabel. Dalam konteks matematika, relasi adalah himpunan pasangan terurut, di mana setiap pasangan terdiri dari dua elemen yang disebut domain dan range. Domain adalah set nilai yang berasal dari set pertama atau input, sedangkan range adalah set nilai yang berasal dari set kedua atau output.

Dalam relasi, setiap elemen di dalam set domain dapat memiliki satu atau lebih pasangan dengan elemen di dalam set range. Misalnya, dalam relasi "Orang X memiliki mobil Y", setiap orang X dapat memiliki satu mobil Y atau lebih. Jadi, pasangan dalam relasi ini adalah himpunan semua kombinasi orang X dan mobil Y yang dimilikinya.

Relasi dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, seperti tabel, diagram, atau grafik. Dalam tabel, relasi direpresentasikan sebagai daftar pasangan terurut antara nilai domain dan nilai range yang sesuai. Dalam diagram atau grafik, relasi direpresentasikan sebagai titik-titik pada koordinat yang menggambarkan setiap pasangan nilai.

Relasi juga dapat memiliki sifat-sifat tertentu, seperti sifat refleksif, simetris, dan transitif. Sifat refleksif berarti setiap elemen dalam domain mempunyai pasangan dengan dirinya sendiri, sifat simetris berarti setiap pasangan dalam relasi dapat dibalik, dan sifat transitif berarti jika A terkait dengan B dan B terkait dengan C, maka A juga terkait dengan C.

Contoh Soal

A = {Tokyo, Bangkok, Seoul}

B = {Thailand, Korea Selatan, Jepang}

C = {kimchi, pad thai, bulgogi, sushi}

Relasi antara himpunan A dan B

R: A -> B = {(Tokyo, Jepang), (Bangkok, Thailand), (Seoul, Korea Selatan)}

Setiap anggota himpunan A tepat berpasangan dengan setiap satu anggota himpunan B, sehingga relasinya disebut sebagai fungsi atau lebih spesifiknya korespondensi satu-satu.

Relasi antara himpunan C dan B

B = {Thailand, Korea Selatan, Jepang}

C = {kimchi, pad thai, bulgogi, sushi}

R: B -> C = {(Thailand, pad thai), (Korea Selatan, kimchi), (Korea Selatan, bulgogi), (Jepang, sushi)}

Hubungan di atas bukanlah fungsi karena ada satu anggota himpunan B yang berpasangan dengan 2 anggota himpunan C, yaitu Korea Selatan yang berpasangan dengan kimchi dan bulgogi. Namun, keduanya masih termasuk relasi.

Fungsi adalah jenis khusus dari relasi matematika yang menggambarkan hubungan antara dua set nilai atau variabel, di mana setiap elemen di dalam set input atau domain dipetakan ke satu dan hanya satu elemen dalam set output atau range. Fungsi dapat dianggap sebagai aturan atau prosedur yang menghubungkan setiap elemen dalam domain dengan satu nilai dalam range.

Fungsi direpresentasikan oleh sebuah notasi f(x), di mana x adalah elemen dalam domain dan f(x) adalah nilai yang sesuai dalam range. Fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, seperti grafik, tabel, atau formula matematika.

Contohnya, sebuah fungsi sederhana adalah f(x) = 2x, yang menggambarkan hubungan antara dua set nilai x dan y, di mana setiap nilai x dalam domain dipetakan ke nilai y yang dihasilkan dengan mengalikan x dengan 2. Jadi, misalnya jika x = 3, maka f(x) = 6.

Fungsi juga memiliki sifat-sifat tertentu, seperti domain, range, fungsi ganjil atau genap, dan banyak lagi. Domain adalah set nilai yang valid untuk variabel input dalam fungsi, sedangkan range adalah set nilai yang sesuai untuk variabel output. Fungsi ganjil adalah fungsi di mana f(-x) = -f(x) untuk setiap nilai x dalam domain, sedangkan fungsi genap adalah fungsi di mana f(-x) = f(x) untuk setiap nilai x dalam domain.

Secara umum, fungsi dibagi menjadi tiga jenis yaitu sebagai berikut.

1. Fungsi Injektif

Fungsi injektif adalah fungsi yang anggota kodomainnya hanya boleh berpasangan dengan satu anggota domain. Setiap anggota domain tepat berpasangan dengan satu anggota kodomain. Namun, masih ada anggota kodomain yang tidak berpasangan.

2. Fungsi Surjektif

Fungsi surjektif adalah fungsi yang anggota kodomainnya tidak boleh ada yang tidak berpasangan. Pada surjektif ini, setiap anggota kodomain boleh berpasangan dengan lebih dari satu anggota domain. Perhatikan contoh berikut.

3. Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif dalah fungsi yang anggota kodomainnya tidak boleh ada yang tidak berpasangan dan setiap anggota kodomain harus berpasangan dengan tepat satu anggota domain. Artinya, anggota kodomain tidak boleh bercabang. Perhatikan contoh berikut. Bijektif ini biasa disebut korespondensi satu-satu.

Karyo memiliki himpunan S, T, U, V, dan W yang masing-masing anggotanya adalah sebagai berikut.

S = {(3,2), (4,3), (5,7), (6,8)}

T = {(2,3), (2,4), (3,5), (4,7)}

U = {(1,3), (2,3), (3,5),(4,9)}

V = {(4,5), (1,2), (3,9), (7,10)}

W = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4)}

Tentukan jenis himpunan yang dimiliki Karyo!

Himpunan S = {(3,2), (4,3), (5,7), (6,8)}

Domain = {3, 4, 5, 7}

Kodomain = {2, 3, 7, 8}

Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan domain tepat berpasangan dengan satu anggota himpunan kodomain. 

Tidak hanya itu, setiap satu anggota kodomain hanya memiliki satu pasang anggota domain. 

Artinya, himpunan S merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

Himpunan T = {(2,3), (2,4), (3,5), (4,7)}

Domain = {2, 3, 4}

Kodomain = {3, 4, 5, 7}

Jika diperhatikan, ada satu anggota domain yang berpasangan dengan dua anggota kodomain, yaitu (2,3) dan (2,4). 

Artinya, himpunan T merupakan relasi atau tidak termasuk fungsi.

Himpunan U = {(1,3), (2,3), (3,5), (4,9)}

Domain = {1, 2, 3, 4}

Kodomain = {3, 5, 9}

Jika diperhatikan, setiap satu anggota domain berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain. 

Namun, ada anggota kodomain yang berpasangan dengan dua anggota domain. Artinya, himpunan U merupakan fungsi surjektif.

Himpunan V = {(4,5), (1,2), (3,9), (7,10)}

Domain = {4, 1, 3, 7}

Kodomain = {5, 2, 9, 10}

Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan domain tepat berpasangan dengan satu anggota himpunan kodomain. 

Tidak hanya itu, setiap satu anggota kodomain hanya memiliki satu pasang anggota domain. 

Artinya, himpunan V merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

Himpunan W = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4)}

Domain = {1, 2}

Kodomain = { 2, 3, 4}

Jika diperhatikan, satu anggota domain berpasangan dengan lebih dari satu anggota kodomain. 

Artinya, himpunan W merupakan relasi atau tidak termasuk fungsi.

Jadi, himpunan S = fungsi bijektif, himpunan T = relasi, himpunan U = fungsi surjektif, himpunan V = fungsi bijektif, dan himpunan W = relasi.